Sala: 243-A
Palestrante: Vinícius Côrtes, IME-USP
Título: Cópias de $c_0(\Gamma)$ em espaços $C(K,X)$
Resumo: Sejam $K$ um espaço de Hausdorff compacto e $X$ um espaço de Banach (real). Denotamos por $C(K,X)$ o espaço de Banach de todas as funções contínuas $f: K \to X$, munido da norma do supremo. Dado $\Gamma$ um conjunto não-vazio, denotamos por $c_0(\Gamma)$ o espaço de Banach das funções $g: \Gamma \to \mathbb{R}$ com a seguinte propriedade: dado $\varepsilon > 0$, o conjunto $\{ \gamma \in \Gamma : |g(\gamma)| \geq \varepsilon \}$ é finito, munido da norma do supremo.
O objetivo deste seminátio é estudar a geometria das cópias dos espaços $c_0(\Gamma)$ em espaços $C(K,X)$ em termos da cardinalidade do conjunto $\Gamma$, da topologia de $K$ e da geometria de $X$ e de seu dual $X^*$. Em particular, estamos interessado em estudar os seguintes problemas:
Problema 1: Se um dos espaços $X$ ou $C(K)$ contém uma cópia de $c_0(\Gamma)$, será que $C(K,X)$ também contém uma cópia de $c_0(\Gamma)$?
Veremos que este problema tem resposta afirmativa, e que o mesmo vale para cópias complementadas.
Problema 2: Reciprocamente, se $C(K,X)$ contém uma cópia de $c_0(\Gamma)$, será que pelo menos um dos espaços $X$ e $C(K)$ também contém uma cópia de $c_0(\Gamma)$?
Este problema tem resposta afirmativa quando $\Gamma$ é enumerável (ou finito). No entanto, no caso não enumerável, a resposta não é tão simples. Mesmo no caso $|\Gamma| = \aleph_1$, vamos precisar de hipóteses adicionais de teoria dos conjuntos para resolver este problema completamente. Por exemplo, a resposta é negativa na presença da Hipótese do Contínuo, e é afirmativa se assumirmos a negação da Hipótese do Contínuo e também o Axioma de Martin.
Problema 3: Que hipóteses sobre $K$ e sobre $X$ fornecem uma cópia complementada de $c_0(\Gamma)$ em $C(K,X)$?
Como mencionamos, será suficiente, por exemplo, que $X$ ou que $C(K)$ contenha uma cópia complementada de $c_0(\Gamma)$. Alguns resultados importantes nesta direção serão o Teorema de Sobczyk, no caso enumerável, e o Teorema de Cembranos-Freniche e sua extensão ao caso não-enumerável.
Este trabalho tem como base o recente artigo de Elói Medina Galego e James N. Hagler intitulado “Copies of $c_0(\Gamma)$ in $C(K,X)$ spaces”, publicado em 2012.