Christina Brech: Existe um espaço de Banach $X$ tal que $\ell_\infty/c_0 \cong \ell_\infty(X)$?

Data: segunda-feira, 01 de abril de 2013, às 14h

Sala: 266-A

Palestrante: Christina Brech, IME - USP

Título: Existe um espaço de Banach $X$ tal que $\ell_\infty/c_0 \cong \ell_\infty(X)$?

Resumo: Drewnowski e Roberts provaram em 1991 que, assumindo a hipótese do contínuo, o espaço $\ell_\infty/c_0$ é primário, ou seja, para toda decomposição $\ell_\infty/c_0 = A \oplus B$, pelo menos um dos dois espaços $A$ e $B$ é isomorfo a $\ell_\infty/c_0$. Este resultado foi obtido a partir de um resultado topológico e do método de decomposição de Pelczynski, mas até hoje não se sabe se vale em ZFC ou se é consistente que $\ell_\infty/c_0$ não é primário. Um dos passos cruciais na demonstração de Drewnowski e Roberts é provar que sob CH o espaço $\ell_\infty/c_0$ é isomorfo a $\ell_\infty(\ell_\infty/c_0)$. Apresentaremos um resultado conjunto com P. Koszmider obtido no modelo de Cohen: provamos que neste modelo $\ell_\infty/c_0$ não é isomorfo a $\ell_\infty(X)$ para nenhum espaço de Banach $X$. 

Daniel Tausk: O problema da extensão de operadores limitados tomando valores em $c_0$

Data: segunda-feira, 18 de março de 2013, às 14h

Sala: 266-A

Palestrante: Daniel Tausk, IME - USP

Título: O problema da extensão de operadores limitados tomando valores em $c_0$

Resumo: O celebrado Teorema de Sobczyk afirma que o espaço de Banach $c_0$ é separavelmente injetivo, isto é, se $X$ é um espaço de Banach separável e $Y$ é um subespaço fechado de $X$ então todo operador limitado $T:Y\to c_0$ admite uma extensão limitada a $X$. Em particular, toda cópia isomorfa de $c_0$ num espaço de Banach separável é complementada. Nesta apresentação, discutiremos generalizações do Teorema de Sobczyk. Dados um espaço de Banach $X$, diremos que um subespaço fechado $Y$ de $X$ possui a propriedade da $c_0$-extensão ($c_0$EP) em $X$ se o par $(X,Y)$ satisfizer a tese do Teorema de Sobczyk. Uma adaptação simples de uma demonstração do Teorema de Sobczyk devida a Veech mostra que $Y$ possui a $c_0$EP em $X$ sempre que o quociente $X/Y$ for separável ou quando o espaço $X$ for weakly compactly generated (WCG). Particular ênfase será dado no caso em que $X$ é um espaço de funções contínuas $C(K)$ e $Y$ é uma subálgebra de Banach $C(L)$ de $C(K)$, sendo $K$, $L$ espaços compactos Hausdorff e $L$ um quociente de $K$. O resultado central do artigo http://arxiv.org/abs/1211.4830 diz que $C(L)$ tem a $c_0$EP em $C(K)$ quando $K$ é uma reta compacta (isto é, um espaço totalmente ordenado, compacto na topologia da ordem) e $L$ é enumerável. Trabalho em colaboração com Claudia Correa.

Leandro Candido: Sobre isomorfismos entre espaços de Banach C(K; X) com distorção menor que 3

Data: segunda-feira, 11 de março de 2013, às 14h

Sala: 266-A

Palestrante: Leandro Candido, IME - USP

Título: Sobre isomorfismos entre espaços de Banach $C(K; X)$ com distorção menor que $3$

Resumo: Para um espaço topológico compacto de Hausdorff $K$ e um espaço de Banach $X$ denotamos por $C(K; X)$ o espaço de Banach de todas as funções contínuas de $K$ em $X$, munido da norma do supremo. No espírito do clássico teorema de Banach-Stone, demonstramos que se $K$ e $S$ são intervalos de ordinais e $X$ é um espaço de Banach de cotipo finito então a existência de um isomorfismo $T$ de $C(K; X)$ em $C(S; X)$ com $||T|| \cdot ||T^{-1}|| \leq 3$ implica que certa soma topológica finita de $K$ é homeomorfa a alguma soma topológica finita de $S$. Mais ainda, se $X^n$ não contém subespaço isomorfo a $X^{n+1}$ para todo $n \in \mathbb{N}$, então $K$ é homeomorfo a $S$. Em outras palavras, apresentamos um teorema tipo Banach-Stone o qual é uma extensão de um teorema de Gordon de 1970 e ao mesmo tempo uma extensão de um teorema de Behrends e Cambern de 1988. Demonstramos também que, para espaços topológicos compactos de Hausdorff $K$ e $S$ e um espaço de Banach de cotipo finito $X$, se existe um isomorfismo $T$ de $C(K)$ em um subespaço de $C(S; X)$ com $||T|| \cdot ||T^{-1}|| \leq 3$, então a cardinalidade do $\alpha$-ésimo derivado de $S$ ou é finita ou é maior do que a cardinalidade do $\alpha$-ésimo derivado de $K$, para todo ordinal $\alpha$.