Seminário de Análise Funcional e Teoria Descritiva dos Conjuntos: 2013

Claudia Correa: Retas compactas e a propriedade de Sobczyk

Data: segunda-feira, 25 de novembro de 2013, às 14h

Sala: 267-A

Palestrante: Claudia Correa, IME-USP

Título: Retas compactas e a propriedade de Sobczyk

Resumo: O celebrado Teorema de Sobczyk implica que todo espaço de Banach separável $X$ possui a propriedade de Sobczyk, i.e., toda cópia isomorfa de $c_0$ em $X$ é complementada.

Generalizações do Teorema de Sobczyk tem se mostrado um campo fértil de investigação nas últimas décadas. Nessa apresentação, farei um esboço da demonstração de uma tal generalização obtida recentemente em colaboração com o Daniel Tausk (http://arxiv.org/pdf/1310.1950v1.pdf).

Mais espacificamente, mostrarei que se $K$ é uma reta compacta (i.e., um conjunto totalmente ordenado e compacto na topologia da ordem), então $C(K)$ possui a propriedade de Sobczyk.

Brice Rodrigue Mbombo: Amenability test spaces for Polish groups III

Data: segunda-feira, 18 de novembro de 2013, às 14h

Sala: 267-A

Palestrante: Brice Rodrigue Mbombo, IME-USP

Título: Amenability test spaces for Polish groups

Resumo: A topological group $G$ is amenable if every continuous action of $G$ on a compact space $X$ admits an invariant Borel probability measure.

A compact space $K$ is an amenability test space for a class $\mathcal{C}$ of topological groups if a group $G \in \mathcal{C}$ is amenable if and only if every continuous action of $G$ on $K$ admits an invariant Borel probability measure. De la Harpe and Giordano (C. R. Acad. Sci. Paris 324(1997), 1255–1258), answering a question of Grigorchuk, had proved that the Cantor space $2^{\aleph_{0}}$ is an amenability test space for discrete countable groups. Bogatyi and Fedorchuk (Topol. Methods Nonlinear Anal. 29 (2007), 383–401) had obtained the same conclusion for the Hilbert cube $[0,1]^{\aleph_{0}}$. We observe that the result of Bogatyi and Fedorchuk remain true for the class of Polish groups. We also show that actions on the Cantor space can be used to detect amenability and extreme amenability of Polish non archimedean groups as well as amenability at infinity of discrete countable groups. As corollary, the latter property can also be tested by actions on the Hilbert cube. These results generalise a criterion due to Giordano and de la Harpe.

At the same time, we do not know whether there exists a compact metrizable test space $K$ for detecting extreme amenability of Polish groups, in other words, having the property that a Polish group $G$ has a fixed point in every compact space upon which it acts continuously whenever it has fixed point whenever it acts continuously on $K$. A separable compact $K$ with this property exists for cardinality considerations.

In this couple of talks, we will provide an history introduction to the notion of amenability for groups before speaking about amenability test spaces for Polish groups.

This is a joint work with Yousef Al-Gadid and Vladimir Pestov.

Slides of the presentation can be found here.

Pedro Kaufmann: Espaços Lipschitz-livres associados a uniões de espaços métricos

Data: segunda-feira, 11 de novembro de 2013, às 14h

Sala: 267-A

Palestrante: Pedro Kaufmann, Université Paris 6

Título: Espaços Lipschitz-livres associados a uniões de espaços métricos

Resumo: Os espaços Lipschitz-livres (ou espaços livres) de um espaço métrico são duais canônicos de espaços de funções lipschitzianas a valores reais definidas no mesmo espaço métrico, e possuem interpretação geométrica natural. Estes espaços tem se mostrado úteis no contexto de análise não linear dos espaços de Banach; em contrapartida muitas questões elementares a respeito deles ainda estão sem resposta. Discutiremos o problema da determinação, a menos de isomorfismo de espaços de Banach, do espaço livre da união de espaços métricos em função do espaço livre de cada componente da união, e alguns problemas relacionados.

Slides of the presentation can be found here.

Michael A. Rincon V.: Optimal extensions of Holsztyński theorem for $C_{0}(K, X)$ spaces

Data: segunda-feira, 4 de novembro de 2013, às 14h

Sala: 267-A

Palestrante: Michael A. Rincon V., IME-USP

Título: Optimal extensions of Holsztyński theorem for $C_0(K, X)$ spaces

Jesús M. F. Castillo: A few problems on twisted Hilbert spaces

Data: segunda-feira, 21 de outubro de 2013, às 14h

Sala: 267-A

Palestrante: Jesús M. F. Castillo, Universidad de Extremadura

Título: A few problems on twisted Hilbert spaces

Resumo: A Banach space is called a twisted Hilbert space if there is an exact sequence
$$0\longrightarrow \ell_2 \longrightarrow X \longrightarrow \ell_2 \longrightarrow 0$$
which exactly means that $X$ admits a subspace isomorphic to $\ell_2$ such that the corresponding quotient $X/\ell_2$ is isomorphic to $\ell_2$. Of course, one is interested in nontrivial twistings; i.e., that $X$ is not a Hilbert space. Here is a sampler of open problems involving twisted Hilbert spaces we could well consider during the talk:

Do nontrivial twisted Hilbert spaces exist? (a question non posed by Palais). How can one construct them?
Can they be twisted? (an old question of David Yost) i.e., Do nontrivial twisted twisted Hilbert spaces exist?
Rochberg constructions [Higher order estimates in complex interpolation theory, Pacific J. Math. 174 (1996) 247--267.] provide natural and simple representations for twisted-twisted-$\cdots$-twisted Hilbert spaces.
The most natural example of which is the so-called Kalton-Peck $Z_2$-space and its associated exact sequence $$0 \longrightarrow \ell_2 \longrightarrow Z_2 \longrightarrow \ell_2 \longrightarrow 0.$$ Both the space $Z_2$ and the sequence are singular objects in many senses. For instance, $Z_2$ is the only natural candidate to Banach space not isomorphic to its hyperplanes.
Homological tensorization and Kalton [The basic sequence problem, Studia Math. 116 (1995) 167--187] (quasi-Banach) version of the Gowers-Maurey space [Banach spaces with small spaces of operators, Math. Ann. 307 (1997) 543--568] suggest that awesomer monsters are in stock.
There is a connection between the problem of twisting Hilbert spaces and the problem of extending bilinear forms.
In turn, the right context for such study is homological algebra. Unfortunately, the problem at the horizon (somehow a twisted reading of Palamodov [Homological methods in the theory of locally convex spaces, Uspehi Mat. Nauk 26 (1971), n. 1 (157), 3--65]) Problem. Is $Ext^2(\ell_2, \ell_2)=0$? is entirely off limits.
Even using Kalton extrapolation theorem [Differentials of complex interpolation processes for Köthe function spaces, Trans. Amer. Math. Soc. 333 (1992) 479--529]?

Jesús M. F. Castillo: A few problems on twisted $C(K)$-spaces

Data: segunda-feira, 14 de outubro de 2013, às 14h

Sala: 267-A

Palestrante: Jesús M. F. Castillo, Universidad de Extremadura

Título: A few problems on twisted $C(K)$-spaces

Resumo: A Banach space X is called a twisted-$C(K)$ if there are two Banach spaces of continuous functions on some compact spaces, say $C(S)$ and $C(T)$, forming an exact sequence
$$0 \longrightarrow C(S) \longrightarrow X \longrightarrow C(T) \longrightarrow 0$$
which exactly means that $X$ admits a subspace isomorphic to $C(S)$ such that the corresponding
quotient $X/C(S)$ is isomorphic to $C(T)$. Of course, one is interested in nontrivial twistings; i.e.,
that $X$ is not $C(S) \oplus C(T)$. Here is a sampler of open problems involving twisted sums of $C(K)$-
spaces we could well consider during the talk:

Given a nontrivial twisting $X$ of $C(S)$ and $C(K)$, it is not known a way to "paste" $S$ and $T$
in a compact $K(S, T)$ so that $X$ becomes isomorphic to $C(K(S, T))$. When possible.

It is not known if for every nonmetrizable compact $K$, there is a (nontrivial) representation $C(K) \simeq X/c_0$.
If $\mathbb{N}^*$ denotes the compact space $\beta \mathbb{N} \setminus \mathbb{N}$, every twisting of $C(\mathbb{N}^*)$ is trivial [Avilés, Cabello, Castillo, González, Moreno, On separably injective Banach spaces. Adv. in Math. 234 (2013) 192-216]. It is not known which other $C(K)$ enjoy the same property, apart from $c_0$ or the injective spaces.
The local versions of $C(K)$ spaces are the so-called $\mathcal L_\infty$-spaces. The twisting of $\mathcal L_\infty$-spaces conceals many surprises.
The uniform classification of (twisted) $\mathcal L_\infty$-spaces is a tough topic. Aharoni and Lindenstrauss [Uniform equivalence between Banach spaces. Bull. Am. Math. Soc. 84 (1978) 281-283] gave an example of two non-isomorphic non-separable $\mathcal L_\infty$-spaces which are uniformly homeomorphic. It is possible to give a separable example, which solves a question in the next mentioned paper of Johnson, Lindenstrauss and Schechtman.
A $C(K)$ space is uniformly homeomorphic to $c_0$ if and only if it is isomorphic to $c_0$ [Johnson, Lindenstrauss, Schechtman, Banach spaces determined by their uniform structures. Geom. Funct. Anal. 6, (1996) 430-470]. It is not known if "the same" occurs to twisted $C(K)$-spaces.
$C[0, 1]$ and the Gurarii space are essentially different $\mathcal L_\infty$-spaces, in the sense that they have no common ultrapowers [Avilés, Cabello, Castillo, González, Moreno, On ultra-products of Banach space of type $\mathcal L_\infty$. Fundamenta Math. (to appear)]. It is not known how many "essentially different" $\mathcal L_\infty$-spaces are there, which is known as the Henson-Moore classification problem [Nonstandard hulls of the classical Banach spaces. Duke Math. J. 41 (1974) 277.284.]

Pierluigi Benevieri: O problema da aproximação de mapas compactas em espaços de Banach e aplicações ao grau topológico

Data: segunda-feira, 7 de outubro de 2013, às 14h

Sala: 267-A

Palestrante: Pierluigi Benevieri, IME-USP

Título: O problema da aproximação de mapas compactas em espaços de Banach e aplicações ao grau topológico

Resumo: Pelo que se sabe, não existe um resultado geral de aproximação de mapas completamente contínuas entre espaços de Banach por mapas $C^1$, se estamos em dimensão infinita. Sabemos muito bem que uma função real contínua, definida em um subconjunto compacto de $R^n$ pode ser aproximada, na norma sup, por uma mapa suave definida em tudo $R^n$. Um resultado análogo não existe (pelo que se sabe) se $R^n$ é substituido por um espaço de Banach $E$ de dimensão infinita, a menos que o domínio (compacto) da mapa seja contido em um subespaço de dimensão finita de $E$.

De fato, podemos provar que um resultado de aproximação existe também no caso em que o domínio da mapa é contido em uma subvariedade de dimensão finita de $E$.

Este fato permite provar resultados da teoria do grau topológico em dimensão infinita.

Brice Rodrigue Mbombo: Amenability test spaces for Polish groups II

Data: segunda-feira, 30 de setembro de 2013, às 14h

Sala: excepcionalmente na 259-A

Palestrante: Brice Rodrigue Mbombo, IME-USP

Título: Amenability test spaces for Polish groups

Resumo: A topological group $G$ is amenable if every continuous action of $G$ on a compact space $X$ admits an invariant Borel probability measure.

This is a joint work with Yousef Al-Gadid and Vladimir Pestov.

Slides of the presentation can be found here.

Brice Rodrigue Mbombo: Amenability test spaces for Polish groups

Data: segunda-feira, 23 de setembro de 2013, às 14h

Sala: 267-A

Palestrante: Brice Rodrigue Mbombo, IME-USP

Título: Amenability test spaces for Polish groups

Resumo: A topological group $G$ is amenable if every continuous action of $G$ on a compact space $X$ admits an invariant Borel probability measure.

A compact space $K$ is an amenability test space for a class $\mathcal{C}$ of topological groups if a group $G \in \mathcal{C}$ is amenable if and only if every continuous action of $G$ on $K$ admits an invariant Borel probability measure. De la Harpe and Giordano (C. R. Acad. Sci. Paris 324(1997), 1255–1258), answering a question of Grigorchuk, had proved that the Cantor space $2^{\aleph_{0}}$ is an amenability test space for discrete countable groups. Bogatyi and Fedorchuk (Topol. Methods Nonlinear Anal. 29(2007), 383–401) had obtained the same conclusion for the Hilbert cube $[0,1]^{\aleph_{0}}$. We observe that the result of Bogatyi and Fedorchuk remain true for the class of Polish groups. We also show that actions on the Cantor space can be used to detect amenability and extreme amenability of Polish non archimedean groups as well as amenability at infinity of discrete countable groups. As corollary, the latter property can also be tested by actions on the Hilbert cube. These results generalise a criterion due to Giordano and de la Harpe.

This is a joint work with Yousef Al-Gadid and Vladimir Pestov.

Slides of the presentation can be found here.

Jordi Lopez-Abad: Basic sequences of random unconditional convergence

Data: segunda-feira, 16 de setembro de 2013, às 14h

Sala: 267-A

Palestrante: Jordi Lopez-Abad, ICMAT - Madrid

Título: Basic sequences of random unconditional convergence

Resumo: This is a notion of partial unconditionality of random flavour introduced by P. Billard, S. Kwapien, A. Pelczynski in the mid 90's. We will also introduce its dual notion of basic sequences of average unconditional divergence. We will present known results and open problems. This is a Joint work with P. Tradacete (Madrid).

Jordi Lopez-Abad: The Banach-Saks property of a set and its convex hull

Data: segunda-feira, 09 de setembro de 2013, às 14h

Sala: 267-A

Palestrante: Jordi Lopez-Abad, ICMAT - Madrid

Título: The Banach-Saks property of a set and its convex hull

Resumo: We present an example of a set which has the Banach-Saks property, yet its convex hull does not. In fact, our example has Banach-Saks rank 1 while its convex hull has rank 2. We will discuss the relationship between the ranks of a set and of its convex hull. This is a Joint work with C. Ruiz and P. Tradacete (Madrid).

Valentin Ferenczi: Sobre derivações e representações unitarizáveis no espaço de Hilbert

Data: segunda-feira, 17 de junho de 2013, às 14h

Sala: 266-A

Palestrante: Valentin Ferenczi, IME - USP

Título: Sobre derivações e representações unitarizáveis no espaço de Hilbert

Resumo: lembrarei a definição de derivação associada a uma representação limitada de um grupo no espaço de Hilbert H. Provarei que uma representação de grupo em H^2 definida a partir de uma derivação é unitarizável se e somente se a derivação é ¨interna¨. Se sobrar tempo darei uma idéia da definição de uma derivação não interna associada à representação canónica do grupo livre F_infty sobre o espaço de Hilbert.

Wilson Cuellar: Um espaço de Banach com omega estruturas complexas

Data: segunda-feira, 10 de junho de 2013, às 13h30

Sala: 266-A

Palestrante: Wilson Cuellar, IME-USP

Título: Um espaço de Banach com omega estruturas complexas

Resumo: Falaremos sobre o conceito de estrutura complexa em espaços de Banach reais e uma relação de equivalência entre elas. Mostraremos vários exemplos incluindo espaços sem estruturas complexas, com estrutura complexa única, com exatamente um número finito de estruturas e com um número enumerável infinito de estruturas complexas. Nestes exemplos estão relacionados alguns resultados de espaços com poucos operadores e espaços hereditariamente indecomponíveis.

Yolanda Moreno: Complementably univesal space vs Gurarij

Data: segunda-feira, 03 de junho de 2013, às 14h

Sala: 266-A

Palestrante: Yolanda Moreno, Universidad de Extremadura

Título: Complementably universal space vs Gurarij

Resumo: A separable Banach space $\mathcal{K}$ is said to be complementably universal for the class of separable Banach spaces having BAP if every such space is isomorphic to a complemented subspace of $\mathcal K$. The existence of $\mathcal K$ was first proved by Kadec in 1971 using a nice topological approach. A bit later in the same year, Pelczynski and Wojtaszczyk gave another construction of such a space using different techniques. Recently, Garbulinska showed the existence of $\mathcal K$ using categorical language and Fraissé limits. It is known that $\mathcal K$ is unique up to isomorphisms but we still don't know about uniqueness up to isometries. We will show that the method to construct spaces of universal disposition (Aviles-Cabello-Castillo-Gonzalez-Moreno) allows us to construct a 'version' of $K$, which is isometric to the one constructed by Garbulinska, and where the property defining the space as well as its FDD are explicitly observed during the construction process itself. Through this method we realize that it is possible a local approach to $\mathcal K$ completely analogous to the Gurarij space $\mathcal G$, namely: the space $\mathcal K$ is the corresponding 'Gurarij object' in the category of double arrows (isometric embeddings-norm one projections). Natural questions arise now from comparing the behavior of both spaces: what about the version $\omega_1$ of $\mathcal K$ which would correspond to the space $\mathcal{G}_{\omega_1}$ of universal disposition for finite dimensional spaces? Could we construct through this method a space complementably universal for the class of all separable Banach spaces (we know, by a result of Jonhson-Szankowski, that such a space cannot be separable)? What about extending isometries from separable (other sizes) subspaces to isometries on the whole $\mathcal K$ ($\mathcal K_{\omega_1}$)?

Valentin Ferenczi: Introdução ao problema de unitarização de Dixmier

Data: segunda-feira, 27 de maio de 2013, às 14h

Sala: 266-A

Palestrante: Valentin Ferenczi, IME - USP

Título: Introdução ao problema de unitarização de Dixmier

Resumo: O problema (aberto) de J. Dixmier (1950) pergunta se vale a seguinte equivalência, para $G$ grupo discreto: $G$ é amenável se e somente se todas as representações limitadas de $G$ no espaço de Hilbert são unitarizáveis?

Depois de lembrar as propriedades envolvidas neste problema, daremos uma idéia da construção de uma representação limitada não unitarizável sobre $H$, devida essencialmente a Ehrenpreis e Mautner (1955).

Jeovanny de Jesus Muentes Acevedo: Operadores de Fredholm, assinatura genaralizada e fluxo espectral

Data: segunda-feira, 20 de maio de 2013, às 14h

Sala: Sala 266-A

Palestrante: Jeovanny de Jesus Muentes Acevedo, IME-USP

Título: Operadores de Fredholm, assinatura genaralizada e fluxo espectral

Resumo: Vamos introduzir o conceito de fluxo espectral para curvas de operadores de Fredholm em espaços de Hilbert. A assinatura generalizada é um conceito algebrico propedeutico que será explicado.

Pietro Zecca: Guiding Function Methods for Periodic Solutions of Differential Inclusions

Data: segunda-feira, 13 de maio de 2013, às 14h

Sala: Auditório Jacy Monteiro (Bloco B) - excepcionalmente

Palestrante: Pietro Zecca, Università degli Studi di Firenze

Título: Guiding Function Methods for Periodic Solutions of Differential Inclusions

Resumo: The method of guiding functions (MGF) was originally developed by M.A. Krasnoselskii and A.I. Perov as on of the tools for solving problems of periodic oscillations in nonlinear systems. Being geometrically clear and simple to use in applications, it became one of the most powerful and effective instruments for dealing with periodic and generalized problems. In this talk we present a brief hystory of the method and arrive to approach periodic and generalized periodic problems:

$\left\{\begin{array}{ll} u^{'}(t) \in F(t,u(t)), \text{ for a.e. }t \in [0,T],\\u(T)=u(0)\\\text{or}\\u(T) \in M(u(0)).\end{array}\right.$

Cristina Radu: A distância de Banach-Mazur entre Hilbert operator spaces

Data: segunda-feira, 06 de maio de 2013, às 14h

Sala: 266-A

Palestrante: Cristina Radu, UFRJ

Título: A distância de Banach-Mazur entre Hilbert operator spaces

Resumo: Um operator space $E$ é um subespaço fechado de $B(H)$. A estrutura de $C^*$-álgebra de $B(H)$ estabelece uma sequência única de normas no cada espaço $M_n(E)$, $n\in \textbf{N}$.

$M_n(E)\subset M_n(B(H))\simeq B(H\oplus H\ldots\oplus H).$

Esta sequência de normas define uma estrutura de operator space no $E$. Os mais importantes exemplos são os Hilbert operator spaces, $R$ e $C$, respectivamente os espaços linha e coluna. Estamos interessados pelas versões de dimensão finita, $R_n$ e $C_n$, que podem ser vistos, respectivamente, como a primeira linha e a primeira coluna do $M_n$ (espaço de matrizes $n\times n$), com a estrutura de operator space herdada do $\mathcal{B}(\ell_{n}^{2},\ell_{n}^{2})$.

Se interpolamos entre $R_n$ e $C_n$ obtemos um contínuo de espaços de Hilbert $R_n[\theta]=(R_n, C_n)_\theta$, $0\leq \theta \leq 1$. O mais importante exemplo é $R_n[1/2]=OH_n$, chamado "Pisier's self dual operator space". Para avaliar a distância entre operator spaces usamos a distância Banach-Mazur.

$d_{\textit{cb}}(E,F)=\inf\left\lbrace \|u\|_{\textit{cb}}\|u^{-1}\|_{\textit{cb}}\ |\ u:E\rightarrow F\ complete \ isomorphism \right\rbrace.$

Se $E$ e $F$ são $n$-dimensionais $d_{cb}(E, F)\leq n$. $R_n$ são $C_n$ idênticos como espaços de Banach por ser isométricos com $l_2^n$ mas como operator spaces são muito diferentes, $d_{cb}(R_n, C_n)=n$.

O resultado principal afirma que se $0\leq\theta, \varphi \leq 1$ então

$d_{cb}(R_n[\theta], R_n[\varphi])=n^{|\theta-\varphi|}.$

Este resultado generaliza os resultados de Mathes para $\theta=0$, $\varphi=1$, Pisier $\theta=0$ ou $1/2$ e $\varphi=1/2$ ou $1$, Zhang $\theta=0$ ou $1$ e $\varphi$ arbitrário.

Valentin Ferenczi: Uma introdução ao problema de unitarização de Dixmier

Data: segunda-feira, 22 de abril de 2013, às 14h

Sala: 266-A

Palestrante: Valentin Ferenczi, IME - USP

Título: Uma introdução ao problema de unitarização de Dixmier

Resumo: O problema (aberto) de J. Dixmier (1950) pergunta se vale a seguinte equivalência, para $G$ grupo discreto: $G$ é amenável se e somente se todas as representações limitadas de $G$ no espaço de Hilbert $H$ são unitarizáveis? Apresentaremos as propriedades envolvidas neste problema, e daremos uma idéia da construção de uma representação limitada não unitarizável sobre $H$, devida essencialmente a Ehrenpreis e Mautner (1955).

Christina Brech: Existe um espaço de Banach $X$ tal que $\ell_\infty/c_0 \cong \ell_\infty(X)$?

Data: segunda-feira, 01 de abril de 2013, às 14h

Sala: 266-A

Palestrante: Christina Brech, IME - USP

Título: Existe um espaço de Banach $X$ tal que $\ell_\infty/c_0 \cong \ell_\infty(X)$?

Resumo: Drewnowski e Roberts provaram em 1991 que, assumindo a hipótese do contínuo, o espaço $\ell_\infty/c_0$ é primário, ou seja, para toda decomposição $\ell_\infty/c_0 = A \oplus B$, pelo menos um dos dois espaços $A$ e $B$ é isomorfo a $\ell_\infty/c_0$. Este resultado foi obtido a partir de um resultado topológico e do método de decomposição de Pelczynski, mas até hoje não se sabe se vale em ZFC ou se é consistente que $\ell_\infty/c_0$ não é primário. Um dos passos cruciais na demonstração de Drewnowski e Roberts é provar que sob CH o espaço $\ell_\infty/c_0$ é isomorfo a $\ell_\infty(\ell_\infty/c_0)$. Apresentaremos um resultado conjunto com P. Koszmider obtido no modelo de Cohen: provamos que neste modelo $\ell_\infty/c_0$ não é isomorfo a $\ell_\infty(X)$ para nenhum espaço de Banach $X$.

Daniel Tausk: O problema da extensão de operadores limitados tomando valores em $c_0$

Data: segunda-feira, 18 de março de 2013, às 14h

Sala: 266-A

Palestrante: Daniel Tausk, IME - USP

Título: O problema da extensão de operadores limitados tomando valores em $c_0$

Resumo: O celebrado Teorema de Sobczyk afirma que o espaço de Banach $c_0$ é separavelmente injetivo, isto é, se $X$ é um espaço de Banach separável e $Y$ é um subespaço fechado de $X$ então todo operador limitado $T:Y\to c_0$ admite uma extensão limitada a $X$. Em particular, toda cópia isomorfa de $c_0$ num espaço de Banach separável é complementada. Nesta apresentação, discutiremos generalizações do Teorema de Sobczyk. Dados um espaço de Banach $X$, diremos que um subespaço fechado $Y$ de $X$ possui a propriedade da $c_0$-extensão ($c_0$EP) em $X$ se o par $(X,Y)$ satisfizer a tese do Teorema de Sobczyk. Uma adaptação simples de uma demonstração do Teorema de Sobczyk devida a Veech mostra que $Y$ possui a $c_0$EP em $X$ sempre que o quociente $X/Y$ for separável ou quando o espaço $X$ for weakly compactly generated (WCG). Particular ênfase será dado no caso em que $X$ é um espaço de funções contínuas $C(K)$ e $Y$ é uma subálgebra de Banach $C(L)$ de $C(K)$, sendo $K$, $L$ espaços compactos Hausdorff e $L$ um quociente de $K$. O resultado central do artigo http://arxiv.org/abs/1211.4830 diz que $C(L)$ tem a $c_0$EP em $C(K)$ quando $K$ é uma reta compacta (isto é, um espaço totalmente ordenado, compacto na topologia da ordem) e $L$ é enumerável. Trabalho em colaboração com Claudia Correa.

Leandro Candido: Sobre isomorﬁsmos entre espaços de Banach C(K; X) com distorção menor que 3

Data: segunda-feira, 11 de março de 2013, às 14h

Sala: 266-A

Palestrante: Leandro Candido, IME - USP

Título: Sobre isomorﬁsmos entre espaços de Banach $C(K; X)$ com distorção menor que $3$

Resumo: Para um espaço topológico compacto de Hausdorﬀ $K$ e um espaço de Banach $X$ denotamos por $C(K; X)$ o espaço de Banach de todas as funções contínuas de $K$ em $X$, munido da norma do supremo. No espírito do clássico teorema de Banach-Stone, demonstramos que se $K$ e $S$ são intervalos de ordinais e $X$ é um espaço de Banach de cotipo ﬁnito então a existência de um isomorﬁsmo $T$ de $C(K; X)$ em $C(S; X)$ com $||T|| \cdot ||T^{-1}|| \leq 3$ implica que certa soma topológica ﬁnita de $K$ é homeomorfa a alguma soma topológica ﬁnita de $S$. Mais ainda, se $X^n$ não contém subespaço isomorfo a $X^{n+1}$ para todo $n \in \mathbb{N}$, então $K$ é homeomorfo a $S$. Em outras palavras, apresentamos um teorema tipo Banach-Stone o qual é uma extensão de um teorema de Gordon de 1970 e ao mesmo tempo uma extensão de um teorema de Behrends e Cambern de 1988. Demonstramos também que, para espaços topológicos compactos de Hausdorﬀ $K$ e $S$ e um espaço de Banach de cotipo ﬁnito $X$, se existe um isomorﬁsmo $T$ de $C(K)$ em um subespaço de $C(S; X)$ com $||T|| \cdot ||T^{-1}|| \leq 3$, então a cardinalidade do $\alpha$-ésimo derivado de $S$ ou é ﬁnita ou é maior do que a cardinalidade do $\alpha$-ésimo derivado de $K$, para todo ordinal $\alpha$.

Piotr Koszmider: Um espaço de Banach onde todo operador injectivo é surjetivo

Data: segunda-feira, 25 de fevereiro de 2013, às 14h

Sala: 267-A

Palestrante: Piotr Koszmider, Institute of Mathematics - Polish Academy of Sciences

Título: Um espaço de Banach onde todo operador injectivo é surjetivo

Resumo: A construção utiliza a álgebra de Boole P(N)/Fin e a teoria de espaços de Banach de funções contínuas com poucos operadores. É fácil mostrar que nenhum espaço HI nem um espaço separável podem possuir esta propriedade. O artigo junto com A. Avilés está aqui: http://arxiv.org/pdf/1209.3042.pdf.

Piotr Koszmider: Famílias independentes em algumas álgebras de Boole e separações em espaços de Banach

Data: quarta-feira, 20 de fevereiro de 2013, às 14h

Sala: 267-A

Palestrante: Piotr Koszmider, Institute of Mathematics - Polish Academy of Sciences

Título: Famílias independentes em algumas álgebras de Boole e separações em espaços de Banach

Resumo: Álgebras de Boole com a propriedade da complementação separável tem muitas aplicações na teoria de espaços de Banach. Entre outros elas induzem espaços de Banach da forma C(K) com a propriedade de Grothendieck. Mostramos que elas sempre contém uma família independente de cardinalidade contínuo. Isso implica que o espaço de Banach C(K) induzido tem ele-infinito como quociente. O artigo junto com S. Shelah está aqui: http://arxiv.org/pdf/1209.0177.pdf.