Cristina Radu: A distância de Banach-Mazur entre Hilbert operator spaces

Data: segunda-feira, 06 de maio de 2013, às 14h

Sala: 266-A

Palestrante: Cristina Radu, UFRJ

Título:  A distância de Banach-Mazur entre Hilbert operator spaces

Resumo: Um operator space $E$ é um subespaço fechado de $B(H)$. A estrutura de $C^*$-álgebra de $B(H)$ estabelece uma sequência única de normas no cada espaço $M_n(E)$, $n\in \textbf{N}$.

$M_n(E)\subset M_n(B(H))\simeq B(H\oplus H\ldots\oplus H).$

Esta sequência de normas define uma estrutura de operator space no $E$. Os mais importantes exemplos são os Hilbert operator spaces, $R$ e $C$, respectivamente os espaços linha e coluna. Estamos interessados pelas versões de dimensão finita, $R_n$ e $C_n$, que podem ser vistos, respectivamente, como a primeira linha e a primeira coluna do $M_n$ (espaço de matrizes $n\times n$), com a estrutura de operator space herdada do  $\mathcal{B}(\ell_{n}^{2},\ell_{n}^{2})$.

Se interpolamos entre $R_n$ e $C_n$ obtemos um contínuo de espaços de Hilbert $R_n[\theta]=(R_n, C_n)_\theta$, $0\leq \theta \leq 1$. O mais importante exemplo é $R_n[1/2]=OH_n$, chamado "Pisier's self dual operator space". Para avaliar a distância entre operator spaces usamos a distância Banach-Mazur.

$d_{\textit{cb}}(E,F)=\inf\left\lbrace \|u\|_{\textit{cb}}\|u^{-1}\|_{\textit{cb}}\ |\ u:E\rightarrow F\ complete \ isomorphism \right\rbrace.$

Se $E$ e $F$ são $n$-dimensionais $d_{cb}(E, F)\leq n$. $R_n$ são $C_n$ idênticos como espaços de Banach por ser isométricos com $l_2^n$ mas como operator spaces são muito diferentes, $d_{cb}(R_n, C_n)=n$.

O resultado principal afirma que se $0\leq\theta, \varphi \leq 1$ então 

$d_{cb}(R_n[\theta], R_n[\varphi])=n^{|\theta-\varphi|}.$ 

Este resultado generaliza os resultados de Mathes para $\theta=0$, $\varphi=1$, Pisier $\theta=0$ ou $1/2$ e $\varphi=1/2$ ou $1$, Zhang $\theta=0$ ou $1$ e $\varphi$ arbitrário.

No comments:

Post a Comment