Brice Rodrigue Mbombo: Extreme amenability of the isometry group of the Urysohn space

Data: sexta-feira, 28 de março de 2014, às 14h

Sala: 243-A

Palestrante: Brice Rodrigue Mbombo, IME-USP

Título: Extreme amenability of the isometry group of the Urysohn space

Resumo: The definition of an extremely amenable group is obtained from the classical definition of an amenable group by removing the two underlined words of the definition: A topological group $G$ is amenable if every continuous $\underline{\text{affine}}$ action of $G$ on compact $\underline{\text{convex}}$ set $X$ admits a fixed point: for some $\xi\in X$ and all $g\in G$, one has $g\xi=\xi$. 



The existence of extremely amenable semigroups was proved by Granirer in $1967$. But it was at first unclear if extremely amenable topological groups existed at all. The first example of this kind was done by Herer and Christensen in $1975$. Some further examples known to date include:


  • $\mathcal{U}(\ell^{2})$, equipped with strong operator topology (Gromov-Milman, $1984$);
  • $Aut\,(\mathbb{Q},\leq)$ with the topology of simple convergence (Pestov, $1998$);
  • $Iso(\mathbb{U})$ where $\mathbb{U}$ is the universal Urysohn space (Pestov, $2002$).
In this talk, we will provide a short history(motivations) of the subject, recall the Kat\v etov construction of the Urysohn space $\mathbb{U}$ and give all details of Pestov Proof of extreme amenability of the group $Iso(\mathbb{U})$.

Vinícius Côrtes: Cópias de $c_0(\Gamma)$ em espaços $C(K,X)$

Data: sexta-feira, 21 de março de 2014, às 14h

Sala: 243-A

Palestrante: Vinícius Côrtes, IME-USP

Título: Cópias de $c_0(\Gamma)$ em espaços $C(K,X)$

Resumo: Sejam $K$ um espaço de Hausdorff compacto e $X$ um espaço de Banach (real). Denotamos por $C(K,X)$ o espaço de Banach de todas as funções contínuas $f: K \to X$, munido da norma do supremo. Dado $\Gamma$ um conjunto não-vazio, denotamos por $c_0(\Gamma)$ o espaço de Banach das funções $g: \Gamma \to \mathbb{R}$ com a seguinte propriedade: dado $\varepsilon > 0$, o conjunto $\{ \gamma \in \Gamma : |g(\gamma)| \geq \varepsilon \}$ é finito, munido da norma do supremo.

O objetivo deste seminátio é estudar a geometria das cópias dos espaços $c_0(\Gamma)$ em espaços $C(K,X)$ em termos da cardinalidade do conjunto $\Gamma$, da topologia de $K$ e da geometria de $X$ e de seu dual $X^*$. Em particular, estamos interessado em estudar os seguintes problemas:

Problema 1: Se um dos espaços $X$ ou $C(K)$ contém uma cópia de $c_0(\Gamma)$, será que $C(K,X)$ também contém uma cópia de $c_0(\Gamma)$?

Veremos que este problema tem resposta afirmativa, e que o mesmo vale para cópias complementadas.

Problema 2: Reciprocamente, se $C(K,X)$ contém uma cópia de $c_0(\Gamma)$, será que pelo menos um dos espaços $X$ e $C(K)$ também contém uma cópia de $c_0(\Gamma)$?

Este problema tem resposta afirmativa quando $\Gamma$ é enumerável (ou finito). No entanto, no caso não enumerável, a resposta não é tão simples. Mesmo no caso $|\Gamma| = \aleph_1$, vamos precisar de hipóteses adicionais de teoria dos conjuntos para resolver este problema completamente. Por exemplo, a resposta é negativa na presença da Hipótese do Contínuo, e é afirmativa se assumirmos a negação da Hipótese do Contínuo e também o Axioma de Martin.

Problema 3: Que hipóteses sobre $K$ e sobre $X$ fornecem uma cópia complementada de $c_0(\Gamma)$ em $C(K,X)$?

Como mencionamos, será suficiente, por exemplo, que $X$ ou que $C(K)$ contenha uma cópia complementada de $c_0(\Gamma)$. Alguns resultados importantes nesta direção serão o Teorema de Sobczyk, no caso enumerável, e o Teorema de Cembranos-Freniche e sua extensão ao caso não-enumerável.

Este trabalho tem como base o recente artigo de Elói Medina Galego e James N. Hagler intitulado “Copies of $c_0(\Gamma)$ in $C(K,X)$ spaces”, publicado em 2012.



Slides of the presentation can be found here.

Elói M. Galego: Geometria dos espaços de Banach $C_{0}(K, X)$

Data: sexta-feira, 14 de março de 2014, às 14h

Sala: 243-A

Palestrante: Elói M. Galego, IME-USP

Título: Geometria dos espaços de Banach $C_{0}(K, X)$

Resumo: Problemas em aberto em espaços de Banach $C_0(K,X)$ sobre subespaços, subespaços complementados e isomorfismos.